量子光學(xué)中的算符Hermite多項式理論及其應(yīng)用.pdf

1、近代物理理論的發(fā)展毋庸置疑地需要先進的數(shù)學(xué)，理論物理學(xué)家應(yīng)該根據(jù)物理需要自己發(fā)明相應(yīng)的數(shù)學(xué)，展示自己獨到的思維方式。Hermite多項式作為一種特殊函數(shù)，在量子力學(xué)和量子光學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。例如，量子諧振子的本征態(tài)的波函數(shù)就是由Hermite多項式來描述。特殊函數(shù)之謂是它們有其特殊的遞推規(guī)律、并容易被記憶。Hermite多項式Hm(x)的集合組成了完備正交的函數(shù)空間，在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域也有一定的地位。本論文提出把Hermite多項式的x宗量

2、(x是實數(shù))以量子力學(xué)的算符（坐標算符X）來代替，稱Hm(X)為算符Hermite多項式，由于量子力學(xué)中的算符一般是不對易的，所以算符特殊函數(shù)本身的編序問題是一個全新的數(shù)理問題。我們結(jié)合有序算符內(nèi)的積分技術(shù)，較系統(tǒng)地研究它的各種性質(zhì)，給出了Hm(X)在算符排序方面的新特點，在此基礎(chǔ)上可以導(dǎo)出若干新的算符恒等式，它們在構(gòu)建量子光學(xué)態(tài)矢量方面有重要的應(yīng)用。當進一步將有關(guān)Hm(X)的排序規(guī)則過渡到經(jīng)典情形，我們又得到有關(guān)Hermite多項式H

3、m(x)的廣義二項式定理和若干新母函數(shù)公式。
　　算符Hermite多項式理論包括:
　　1.借助算符特殊函數(shù)的新公式可找出溝通各種特殊函數(shù)之間的新關(guān)系。
　　2.利用算符特殊函數(shù)各種編序形式及量子表象完備性可以導(dǎo)出許多有用的新積分公式（而并不需要真正地做積分）。
　　3.可用算符特殊函數(shù)恒等式豐富量子論的表象論與變換論。
　　4.更深刻地建立經(jīng)典函數(shù)的量子對應(yīng)，有助于量子相空間理論的發(fā)展。
　　5.

4、發(fā)現(xiàn)若干特殊函數(shù)的新的冪級數(shù)展開及倒易關(guān)系。
　　6.方便而直接地計算各種物理量，如矩函數(shù)、累積函數(shù)等。
　　本文還將研究在量子糾纏中需要的雙變數(shù)Hermite多項式Hm，n（x，y），將算符Hermite多項式理論推廣到算符雙變數(shù)Hermite多項式，研究其性質(zhì)和應(yīng)用。
　　本論文從物理概念與物理要求來架構(gòu)算符Hermite多項式理論并深入討論，注意在數(shù)學(xué)公式中把握物理，體現(xiàn)數(shù)學(xué)和物理的相輔相成。要較順利地探討算符H

5、ermite多項式理論，在第一章先對我國學(xué)者范洪義發(fā)明的有序算符內(nèi)的積分技術(shù)做一介紹。在第二、三章引入算符Hermite多項式（單變數(shù)）的理論，其核心是算符Hermite多項式的正規(guī)乘積和反正規(guī)乘積展開。第四章介紹如何用算符Hermite多項式理論導(dǎo)出Laguerre多項式，而以往都認為它們是分別定義的。第五章陳述算符Hermite多項式的正規(guī)乘積Hn(X)=2n:Xn:的物理應(yīng)用。第六章介紹用算符Hermite多項式方法推導(dǎo)含Hn(q

6、)的新二項式定理。第七章用算符Hermite多項式方法推導(dǎo)偶-和奇-厄密多項式的母函數(shù)公式。從第八章到第十一章介紹引入雙變數(shù)Hermitee多項式的途徑和建立雙變數(shù)算符Hermite多項式理論，并導(dǎo)出新的母函數(shù)公式等。在第十二章，鑒于Fock空間的完備性以往只能用純態(tài)展開，探討完備性能否用混合態(tài)展開？結(jié)果發(fā)現(xiàn)Fock空間可以用混合態(tài)（二項式態(tài)或負二項式態(tài)）來劃分。總而言之，算符Hermite多項式理論和Fock空間的新劃分對于進一步了解