控制系統(tǒng)設計與仿真-計算機控制技術(shù)課程設計

1、<p><b>　　課</b></p><p><b>　　程</b></p><p><b>　　設</b></p><p><b>　　計</b></p><p>　　題 目 控制系統(tǒng)設計與仿真 </p>&

2、lt;p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　所在院(系) 電氣工程 學院 </p><p>　　專業(yè)班級 計算機控制技術(shù) </p><p>　　指導教師 </p><p>　　完成地點 學 校

3、 </p><p><b>　　年 月 日</b></p><p><b>　　目錄</b></p><p>　　緒論…………………………………………………………1</p><p>　　1.1根軌跡基本概念………………………………………………</p><p>　　

4、1.2根軌跡的作用………………………………………………….</p><p><b>　　第2章</b></p><p>　　1.3根軌跡的基本規(guī)律</p><p><b>　　第3章</b></p><p>　　1.4根軌跡的應用…………………………………………………</p><

5、p>　　1.5用matlab繪制根軌跡的圖</p><p><b>　　第一章</b></p><p><b>　　一 前言</b></p><p>　　線性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的跟，即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點在根的平面上的位置，系統(tǒng)的動態(tài)性能也與閉環(huán)極點的位置有關(guān)，而閉環(huán)極點的位置與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的

6、參數(shù)密切相關(guān)，所以在控制系統(tǒng)的時域分析和設計中，弄清楚閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點位置與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)參數(shù)之間的關(guān)系是一個非常要的問題，根軌跡很好的解決了這個問題。</p><p>　　根軌跡是線性系統(tǒng)時域分析和設計的，一種重要的輔助手段，由伊凡思（W.R.Evans）于1948年提出。利用這種手段，可以很方便地確定閉環(huán)系統(tǒng)的特征根與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系，可以很直觀的看出增加開環(huán)零，極點對系統(tǒng)閉環(huán)特性的影響，可以通過增加開環(huán)零

7、，極點重新配置閉環(huán)主導極點，在控制系統(tǒng)時域分析和設計中起著重要的作用。</p><p><b>　　二．什么是根軌跡</b></p><p>　　所謂根軌跡就是系統(tǒng)的某個參數(shù)連續(xù)變化時，閉環(huán)特征根在復平面上的運動軌跡。</p><p>　　如果這個參數(shù)是開環(huán)增益，在根軌跡上就可以根據(jù)已知的開環(huán)增益找到相應的閉環(huán)特征根，也可以根據(jù)期望的閉環(huán)特征根

8、確定開環(huán)增益。</p><p>　　例1負反饋控制系統(tǒng)如圖1所示，設其開環(huán)傳遞函數(shù)為</p><p><b>　　G(s)H(s)=</b></p><p>　　R(s) C(S)</p><p><b>　　圖1負反饋控制系統(tǒng)</b></p>

9、<p>　　當開環(huán)增益K從0趨向于無窮大變化時，觀察閉環(huán)系統(tǒng)的特征根如何變化？</p><p>　　解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為</p><p>　　S+3S+2S+K=0 </p><p>　　當K從0到無窮大連續(xù)變化時，閉環(huán)特征根在 復平面上的變化軌跡如圖2 所示，</p><p>　　圖2 例1的根軌跡圖</

10、p><p>　　這就是系統(tǒng)以K為參變量的根軌跡。從根軌跡圖可以看出：系統(tǒng)有3條根軌跡，當K取一定值時，每條根軌跡上對應一個點，根平面上這3個點就是系統(tǒng)的3個閉環(huán)極點，比如取3，3支根軌跡上的3個特定點就是系統(tǒng)的3個閉環(huán)極點。根軌跡與虛軸的交點為臨界穩(wěn)定點，該處的K值稱為臨界增益，本例中，臨界增益為K=6，當K>6時，根軌跡跑到右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定；當0<K<6時，根軌跡位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。根軌跡

11、離開實軸的點稱為分離點，它對應于二階系統(tǒng)L=1的兩個重極點，本例中，分離點對應的增益為K=0.384，當0<K<0.384時，3個閉環(huán)極點都是負實數(shù)（位于負實軸上）；當K>0.384是時，有兩個閉環(huán)極點進入復平面，成為共軛復數(shù)?？梢姡壽E清晰地描繪了閉環(huán)極點與開環(huán)增益K的關(guān)系。</p><p>　　通過此例可以看到，根軌跡圖上清楚地反映了如下信息：</p><p>　　

12、臨界穩(wěn)定時的開環(huán)增益。</p><p>　　閉環(huán)特征根進入復平面時的臨界增益。</p><p>　　選定開環(huán)增益后，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在根平面上的分布。</p><p>　　參數(shù)變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在根平面上的變化趨勢。</p><p>　　這些信息給系統(tǒng)的分析和設計帶來了極大的方便。</p><p>　　三 根軌跡滿足

13、的基本條件 </p><p>　　考察圖1所示的系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為</p><p>　　= （1.1）</p><p><b>　　閉環(huán)特征方程為</b></p><p>　　1+G(s)H(s)=0 （1.2）<

14、;/p><p>　　根軌跡上的任意一點s是可變參數(shù)（比如開環(huán)增益）取某一確定值時，閉環(huán)特征方程的根，所以，根軌跡上的任何一點都滿足：</p><p>　　G(s)H(s)=-1 （1.3）</p><p>　　上式可分解為幅值條件：</p><p>　　∣G(s)H(s)∣=1

15、 （1.4）</p><p><b>　　和相角條件：</b></p><p>　　∠G(s)H(s)=+（2k+1）180° k=0,1,2，… （1.5）</p><p>　　這里討論的是以開環(huán)增益K為參變量的根軌跡，它是最基本，最常用的根軌跡，我們稱之為“典型根軌跡”。設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為：

16、</p><p>　　G(s)H(s)= （1.6）</p><p>　?。ㄕ堊⒁?，這里用的是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零、極點形式）。</p><p><b>　　則幅值條件具體化為</b></p><p>　　K== （1.7）</p><p>

17、<b>　　相角條件具體化為</b></p><p>　　° k=1,2,… (1.8)</p><p>　　顯然，K的變化只影響幅值條件而不影響相角條件。</p><p>　　對 于復平面上的一個動點s,（s-zl）表示從零點zl指向動點s的向量，稱為零點向量，（s-pi）表示從極點pi指向動點s的向量，稱為極點向量，

18、如圖3：</p><p>　　s jw</p><p><b>　　2 </b></p><p>　　4 5 p2 1</p><p>　　P4 z5 p1 0 x</p><p><b>　　

19、3</b></p><p><b>　　P3</b></p><p>　　圖3零點向量和極點向量</p><p>　　于是如果動點s是根軌跡上一點，開環(huán)傳遞函數(shù)所含零點向量和極點向量的幅值應滿足幅值條件式（1.7），這些向量的相角應滿足相角條件（1.8），由此可以判斷動點s是不是根軌跡上的點。</p><p>

20、;　　知道了根軌跡上的點滿足的基本條件，仍不能繪制出根軌跡，因為我們不可能逐個地去根平面上尋找滿足基本條件的點，為了找到一種快捷的繪制方法，需要找出根軌跡的一些基本規(guī)律，就是說，要依據(jù)根軌跡的基本規(guī)律來繪制根軌跡。</p><p><b>　　第二章</b></p><p>　　一 根軌跡的基本規(guī)律</p><p>　　根軌跡的基本規(guī)律是根據(jù)

21、根軌跡滿足的基本條件導出來的一些重要規(guī)律，他們也就成為繪制根軌跡的基本規(guī)則。</p><p><b>　　起點和終點</b></p><p>　　根軌跡起始于開環(huán)極點或無窮遠處，終止于開環(huán)零點或無窮遠處。</p><p>　　由幅值條件可知，由于根軌跡起始于K=0的閉環(huán)極點，因此該極點必在s=pi處。同樣道理，根軌跡終止于K=無窮大的閉環(huán)極點，

22、因此。該極點必在s=zj處。當n=m時，起始于n個開環(huán)極點的n支根軌跡，正好終止于n個開環(huán)零點。</p><p>　　當n>m時，起始于n個開環(huán)極點的n支根軌跡，有m支終止于開環(huán)零點，有n-m支終止于無窮遠處，因為終點就是K→無窮遠處的點，當n>m時。要使K→無窮遠處只有兩種情況，一是s=zj二是s→無窮遠處，此時可認為無窮遠處有n-m個開環(huán)零點。</p><p>　　當n&l

23、t;m時終止于m個開環(huán)零點的m支根軌跡，有n支來自于n個開環(huán)極點，有m-n支來自無窮遠處，因為起點就是K=0的點，當n<m時。要使K=0只有兩種情況，一是s=pi二是s→無窮遠處，此時可認為無窮遠處有m-n個開環(huán)極點。</p><p>　　根軌跡的支數(shù)和對稱性</p><p>　　根軌跡有max(n,m)支，并且對稱于實軸。</p><p>　　由于根軌跡的起

24、點和終點可知，根軌跡的支數(shù)（也就是閉環(huán)極點數(shù)）為max（n,m）.</p><p>　　由于特征方程的系數(shù)都是實數(shù)，故特征方程的根要么是實根（在實軸上），要么是共軛復根（對稱于實軸），所以根軌跡對稱于實軸。</p><p><b>　　實軸上的根軌跡</b></p><p>　　實軸上的開環(huán)零點和開環(huán)極點將實軸分若干段，對于其中任一段，如果其右

25、邊實軸上的開環(huán)零、極點總數(shù)是奇數(shù)，那么該段就一定是根軌跡的一部分。</p><p>　　這個規(guī)則用相角條件可以證明，如圖4所示</p><p>　　i2 jw</p><p><b>　　P2</b></p><p>　　L3=0 i4=0 L2=∏ i1=∏

26、 L1=∏</p><p>　　Z3 P4 S0 Z2 0 P1 Z1 x</p><p><b>　　i3</b></p><p><b>　　P3</b></p><p>　　圖4 實軸上根軌跡規(guī)律的證明 &

27、lt;/p><p>　　考慮實軸上的某一試驗點S0,任一對共軛復數(shù)零點或共軛復數(shù)極點（如P2, P3）到S0的向量角（如i2, i3）之和均為360°，也就是說任一對共軛復數(shù)開環(huán)零、極點不影響實軸上實驗點S0的相角。</p><p>　　再看實軸上的開環(huán)零、極點，對于實驗點S0，其左邊實軸上任一開環(huán)零點，極點到S0的向量角（i4,L3）均為0，因此，它們也不影響實軸上實驗點S0的相角

28、。實驗點S0右邊實軸上任一開環(huán)零、極點到S0的向量角（如i1,L1,L2）均為180°，所以要滿足相角條件，S0 右邊實軸上的開環(huán)零、極點總數(shù)必須是奇數(shù)。</p><p><b>　　根軌跡的分離點</b></p><p>　　當K從零點到無窮大時，根軌跡可能出現(xiàn)先會合后分離的點，如圖2中K=0.384的點，這樣的點稱為分離點，分離點對應于重閉環(huán)極點。<

29、;/p><p>　　顯然。如果實軸上的兩個相鄰的開環(huán)極點之間存在根軌跡，它一定有分離點，因為任何一條根軌跡不可能開始于開環(huán)極點終止于另一個開環(huán)極點，同理，如果實軸上的兩個相鄰的開環(huán)零點之間 存在根軌跡，它也一定是分離點，當然，分離點也可以是負數(shù)。</p><p>　　基于分離點是重閉環(huán)極點的事實可以證明，分離點的坐標R是下列代數(shù)方程的解：</p><p><b&g

30、t;　?。?.1）</b></p><p>　　必須說明的是，式（2.1）只是必要條件而非充分條件，也就是說它的解不一定是分離點，是否是分離點還要看其他規(guī)則。</p><p>　　一個特例，對于有兩個實數(shù)開環(huán)極點P1、P2，而無零點的系統(tǒng)，求分離點的代數(shù)方程為</p><p><b>　?。?.2）</b></p>&

31、lt;p>　　解得 （2.3）</p><p>　　即分離點位于兩個開環(huán)極點的坐標中點，典型二階系統(tǒng)有一個開環(huán)極點位于原點（P1=0），因此，分離點位于處。</p><p><b>　　漸近線</b></p><p>　　當n>m時，根軌跡一定有n-m支終

32、止于無窮遠處；當n<m時，根軌跡一定有m-n支起始于無窮遠處，根軌跡趨向無窮遠處時，逐漸靠近一條直線， 該直線稱為這條根軌跡的漸近線，可以證明：當n≠m時，根軌跡的∣n-m∣支漸近線與實軸的夾角為</p><p>　　k=0,1,2,…,∣n-m∣-1 (2.4)</p><p>　　所有漸近線交于實軸上的一點，其坐標為</p><p>&

33、lt;b>　?。?.5）</b></p><p>　　由式（2.4）可推知。∣n-m∣支漸近線平分圓周角，即它們在根平面上均勻分布。漸近線與實軸的尖角為</p><p><b>　?。?.6）</b></p><p>　　第一項為第一條漸近線與正實軸的夾角（k=0）,第二項為每增加一條漸近線所增加的角度，這個角度為360

34、76;/∣n-m∣，即每兩條漸近線的夾角都為360°/∣n-m∣。k=∣n-m∣時，正好增加了360°，與第一條漸近線重合。所以，∣n-m∣支漸近線平分圓周角。另外，由于根軌跡對稱于實軸，因此，它們的漸近線也對稱于實軸。</p><p>　　由于漸近線平分于圓周角，又對稱與實軸，因此，知道了根軌跡有幾條漸近線只需求出它們交于實軸上一點的坐標，就知道了它們在根平面上的分布。</p>

35、<p><b>　　根軌跡與虛軸的交點</b></p><p>　　根軌跡與虛軸的交點是臨界穩(wěn)定點，該點的坐標s=jw0和增益K0是很重要的。將s=jw0代入閉環(huán)特征方程，令特征方程的實部和虛部分別等于0，可以解出w0和k0.用勞斯判據(jù)也可以求得w0和k0.</p><p>　　根軌跡的出射角和入射角</p><p>　　根軌跡從某

36、個開環(huán)極點出發(fā)時的切線與實軸的夾角稱為出射角根軌跡進入某個開環(huán)零點時的切線與實軸的夾角稱為入射角，用向量條件不難證明，根軌跡從開環(huán)極點Pi出發(fā)時的出射角為</p><p><b>　?。?.7）</b></p><p>　　根軌跡進入某個開環(huán)零點z1時的入射角為</p><p><b>　　（2.8）</b></p&

37、gt;<p><b>　　證明略。</b></p><p>　　注意：由第三條規(guī)律已經(jīng)可以繪出實軸上的根軌跡，因此，實軸上的出射角和入射角是不用求得的，式（2.7）和式（2.8）求得的是復數(shù)極點和復數(shù)零點的出射角和入射角。</p><p>　　掌握根軌跡的基本規(guī)律后， 就可以將這些規(guī)律作為根軌跡的基本規(guī)律繪出根軌跡的圖只有規(guī)則能繪出或計算出的部分是精確地

38、，其它部分都不精確，因此，這種根軌跡只能是概略圖。需要指出。MATLAB的出現(xiàn)使繪制精確地根軌跡成為一件非常容易的事，手工方法繪制根軌跡只是急用是臨時作為定性分析，但是，傳統(tǒng)方法開發(fā)出來的根軌跡的基本規(guī)律對分析系統(tǒng)和設計系統(tǒng)來說都是很有用的。</p><p>　　二 根軌跡繪圖示例</p><p>　　例2設開環(huán)傳遞函數(shù)如下，按基本規(guī)律繪制根軌跡圖。</p><p&g

39、t;　　解：（1）系統(tǒng)有3個開環(huán)極點：P1=0,P2=-2,P3=-5，將它們表在復平面上，開環(huán)極點的位置用“×” 表示，根據(jù)規(guī)則1和2，根軌跡有3支，分別起始于3個開環(huán)極點，由于開環(huán)系統(tǒng)沒有開環(huán)零點，這3支根軌跡都終止于無窮遠。</p><p>　?。?）實軸上的根軌跡，根據(jù)規(guī)則3 ，實軸上的[-2,0]段是根軌跡的一部分，實軸上的[-無窮，-5]段也是根軌跡的一部分。</p><

40、p>　?。?）實軸上的分離點根據(jù)規(guī)則4 根軌跡在實軸上的[-2,0]段一定有而一個分離點</p><p>　　整理得 解得R1=-0.88，R2=-3.79，顯然只有-0.88在根軌跡上，所以分離點為-0.88.</p><p>　?。?）漸近線，根據(jù)規(guī)則5 根軌跡有3根漸近線，它們和正實軸的夾角為</p><p><b>　　k=0,1,2,…&l

41、t;/b></p><p>　　L0=60°,L1=180°,L2=300°</p><p>　　其實漸近線的角度一目了然不用計算，由于漸近線平分圓周角，并且有一支就是[-無窮大，-5]的負實軸，因此，另外兩支與實軸的夾角就是60°和300°.所有漸近線交與實軸的一點，其坐標為</p><p>　?。?）與虛軸

42、的交點。 根據(jù)規(guī)則6可以確定根軌跡與虛軸的交點。</p><p>　　先用勞斯判據(jù)，系數(shù)特征方程為</p><p>　　根據(jù)特征方程系數(shù)列出勞斯表為</p><p><b>　　1 10</b></p><p><b>　　7 K</b></p><p&g

43、t;<b>　　K</b></p><p>　　令第一列中的項等于0（臨界穩(wěn)定），即=0，可以求得K=70通過求解由行得出的輔助方程7+K=0，可以求得根軌跡與虛軸的交點為s=±j√10.</p><p>　　另一種根據(jù)確定根軌跡與虛軸交點的方法是令特征方程中的s=jw0得</p><p>　　令上式中的實數(shù)和虛部分別等于0，可得w=

44、0,K=0和w=√10,K=70.因此根軌跡在w=±√10處與虛軸相交，并且在交點處K=70。</p><p>　?。?）出射角。 由于3個開環(huán)極點都在實軸上，出射角不用計算。</p><p>　　以上根據(jù)基本規(guī)律畫出的根軌跡是概略圖，它在實軸上的根軌跡、漸近線、與虛軸的交點是準確地，其它部分就不準確了。</p><p>　　用MATLAB繪制出的根軌跡

45、如圖5所示，它證實了上述的計算結(jié)果</p><p>　　圖5 例2的根軌跡圖</p><p>　　系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，按基本規(guī)律繪制根軌跡圖。</p><p>　　解：（1）系統(tǒng)有2個開環(huán)極點：P1=0,P2=-1,P3=-5，一個開環(huán)零點：z1=-2將它們表在復平面上，開環(huán)極點的位置用“×” 表示.</p><p>　　根據(jù)規(guī)

46、則1和2，根軌跡有2支，分別起始于這2個開環(huán)極點，由于n-m=1因此，一支根軌跡終止于開環(huán)零點z1=-2，另一支終止于無窮遠。</p><p>　?。?）實軸上的根軌跡，根據(jù)規(guī)則3 ，實軸上的[-1,0]段是根軌跡的一部分，實軸上的[-無窮，-2]段也是根軌跡的一部分。</p><p>　?。?）實軸上的分離點根據(jù)規(guī)則4 根軌跡在實軸上的[-1,0]段一定有一個分離點在實軸上的[-無窮，-

47、2]段也有一個分離點，因此-無窮處有一個開環(huán)零點。由方程</p><p>　　整理得 解得R1=-3.41，R2=-0.586，兩個分離點分別位于[-無窮，-2]段和[-1,0]段。</p><p>　?。?）漸近線，根據(jù)規(guī)則5 根軌跡有1根漸近線，這條漸近線就是負實軸。</p><p>　　（5）與虛軸的交點。 由前四步已將知道，根軌跡不會穿越虛軸跑到右半平面，

48、因此，不需要求根軌跡與虛軸的交點根據(jù)規(guī)則6可以確定根軌跡與虛軸的交點。</p><p>　?。?）出射角。 由于開環(huán)零、極點都在實軸上，出射角不用計算。</p><p>　　以上根據(jù)基本規(guī)律畫出的根軌跡是概略圖，它在實軸上的根軌跡、漸近線、與虛軸的交點是準確地，其它部分就不準確了。</p><p>　　用MATLAB繪制出的根軌跡如圖6所示，它證實了上述的計算結(jié)果

49、</p><p>　　圖6 例3的根軌跡圖</p><p>　　考慮到兩個相似的系統(tǒng) </p><p><b>　?。╝）</b></p><p><b>　　(b)</b></p><p>　　用MATLAB繪制出的根軌跡如圖7、圖8所示如下</p>&l

50、t;p>　　圖7 （a）的根軌跡圖</p><p>　　圖8 （b）的根軌跡圖</p><p>　　如果按基本規(guī)則，很難判斷兩種系統(tǒng)根軌跡的區(qū)別，即很難判斷離開環(huán)極點后的運行路徑，這反映了手工繪圖的弱點，就是說基本規(guī)律所包含的根軌跡信息是不全面的，再看一個例子。如下：</p><p>　　系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為</p><p>

51、;　　按基本規(guī)律繪制，與MATTLAB繪制的圖是不一樣的下邊是MATLAB繪制的</p><p>　　圖我們繪制的圖有3個開環(huán)極點分別為p1=0.5,p2=,p3= </p><p>　　根據(jù)根軌跡圖，在開環(huán)極點出現(xiàn)了兩個分離點</p><p>　　這說明，滿足規(guī)律4一定有分離點，不滿足規(guī)律4 的不一定沒有分離點，沒有零點它們在復平面上。實軸上相鄰的開環(huán)極點和開環(huán)零

52、點之間的根軌跡上有可能有兩個分離點，這進一步說明，基本規(guī)則所包含的根軌跡信息是不全面的。</p><p><b>　　特殊根軌跡</b></p><p>　　前面討論的是典型根軌跡，他是以增益K為參量的根軌跡，如果以其他參量為參變量，這些根軌跡不同于典型根軌跡稱之為特殊根軌跡。</p><p>　　一 以時間常數(shù)為參變量的根軌跡</p&

53、gt;<p>　　有時候需要調(diào)整的不是開環(huán)增益K，而是其他參數(shù)，比如慣性環(huán)節(jié)或比例微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，在這種情況下，可變參量不是開環(huán)傳遞函數(shù)的獨立因子，無論用手工繪制還是用MATLAB繪制都無法進行，然而我們可以將閉環(huán)傳遞函數(shù)變形，得到一個有效地系統(tǒng)，等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與典型根軌跡的開環(huán)傳遞函數(shù)具有相同的形式，即可變參量是開環(huán)傳遞函數(shù)的獨立因子，這樣就可以套用典型根軌跡的方法（或MATLAB）來繪制根軌跡的根軌跡圖了。

54、</p><p>　　以時間常數(shù)為參變量的根軌跡有以比例微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)為參變量以慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)為參變量這里具體以慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)為參變量進行探討并舉例說明舉例如下</p><p>　　系統(tǒng)如下圖所示，為了確定慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，繪出以時間常數(shù)T為參變量的根軌跡。</p><p>　　R(s)

55、 C(s) </p><p><b>　　圖11 例5圖</b></p><p>　　解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為</p><p>　　它不具有典型開環(huán)傳遞函數(shù)的形式，因此，不能用典型開環(huán)傳遞函數(shù)的規(guī)則繪制根軌跡路徑，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為如下</p><p>　　分子分母同乘以s(s+1)+5,得</p>

56、;<p>　　可以看出，這是一個與原系統(tǒng)具有相同閉環(huán)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，如圖12所示，等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為</p><p>　　R(s) C(s)</p><p>　　圖12 圖11的等效系統(tǒng)</p><p>　　它具有典型根軌跡開環(huán)傳遞函數(shù)的形式，可以用典型根軌跡的繪制方法繪制根軌跡如圖13</p&g

57、t;<p>　　圖13 例5題的根軌跡</p><p>　　需要注意的是，等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分母的階數(shù)小于分子的階數(shù)，即n<m,有m-n=1條根軌跡起始于無窮遠處，在這種情況下，用MATLAB繪制根軌跡遇到一個問題，即MATLAB繪制不出無窮遠處的根軌跡的起點，因此，按G(s)H(s)編程，MATLAB不能運行。</p><p>　　此時，可以繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為

58、1/ G(s)H(s)的根軌跡。這樣處理并不該并根軌跡的形狀，因為系統(tǒng)的特征多項式F(s)=num(s)+den(s),num(s)和den(s)分別是G(s)H(s)得分子多項式的和分母多項式，因此開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)或1/ G(s)H(s)時，系統(tǒng)特征多項式是一樣的，做出的根軌跡是同一個特征方程的根隨同一個參數(shù)變化的軌跡，因此根軌跡的形狀是一樣的，不同的是，開環(huán)傳遞函數(shù)為1/ G(s)H(s)的根軌跡是參數(shù)1/T從0到無窮

59、遠變化時的根軌跡，（即T從無窮遠處到0變化時的根軌跡），由根軌跡圖讀取參數(shù)時一定要注意，圖13就是開環(huán)傳遞函數(shù)</p><p>　　1/ 的根軌跡，臨界增益為4 即1/T=4，則時間常數(shù)T的臨界值為T=0.25，（圖上為T=0.249）.1/T>4時系統(tǒng)穩(wěn)定，則T應小于0.25.</p><p>　　可用勞斯判據(jù)驗證此結(jié)論。系統(tǒng)的特征方程為</p><p>　

60、　F(s)=Ts+(T+1)s+s+5</p><p>　　勞斯表如下： T 1</p><p>　　T+1 5</p><p>　　5 當0<T<0.25時系統(tǒng)穩(wěn)定，與上面分析一致。</p><p><b>　　二 零度根軌跡</b></p>

61、<p>　　如果負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母中s最高次冪不同號，或者，正反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母中s最高次冪同號，則閉環(huán)傳遞函數(shù)變成</p><p><b>　　這時特征方程變成：</b></p><p>　　可知，根軌跡幅值條件不變，而相角條件變成：</p><p>　　， k=0,1,2,…</p>

62、<p>　　由于相角條件變?yōu)閗×360°,故稱之為零度根軌跡，這一改變導致基本規(guī)則3、5和7必須修改為一下、和的情況</p><p>　　對于實軸上的某一段，如果其右邊實軸上的開環(huán)零點，極點點總數(shù)是偶數(shù)，那么該段就一定是根軌跡的一部分，</p><p>　　漸近線與實軸的夾角為 ，k=0,1,2,…,∣n-m∣-1</p><p&

63、gt;　　根軌跡的出射角和入射角公式中（2k+1）均改為2k。</p><p>　　例6 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為繪出系統(tǒng)的根軌跡。</p><p>　　解：用MATLAB繪制的根軌跡如圖14，它驗證了上述3點改動</p><p>　　圖14 例6的根軌跡</p><p>　　根軌跡的系統(tǒng)穩(wěn)定性和系統(tǒng)的動態(tài)特性</p><

64、p>　　一 對系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析</p><p>　　根軌跡是系統(tǒng)的某一參數(shù)（比如增益K）變化時系統(tǒng)特征根的變化軌跡，而特征根決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此,從根軌跡上可以看出系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響。</p><p>　　根軌跡全部位于虛軸的左邊，就意味著不管K 取何值，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，稱為結(jié)構(gòu)穩(wěn)定系統(tǒng)。（2）根軌跡只要有一支全部位于虛軸的右邊，就意味著不管K取何值，閉環(huán)系統(tǒng)都不可能穩(wěn)

65、定，稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。（3）如果系統(tǒng)沒有一支根軌跡全部位于右半平面，那么，根軌跡只要有一支穿越虛軸，就說明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是有條件的，稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。知道了根軌跡與虛軸交點的K值，就可以確定穩(wěn)定條件，進而確定合適的K值。</p><p>　　對于條件穩(wěn)定系統(tǒng)，只要選擇適當?shù)腒值，就可以使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，而對于結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)，不可能靠改變K值使系統(tǒng)穩(wěn)定，這種情況下，如果系統(tǒng)的其它參數(shù)是不可改變的，那么要使系統(tǒng)穩(wěn)定

66、就必須人為增加開環(huán)零、極點。這稱之為改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。</p><p>　　二 根軌跡與系統(tǒng)的動態(tài)特性的分析</p><p>　　根軌跡與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系是很直觀的，而與系統(tǒng)動態(tài)特性的關(guān)系就不那么直觀，這時由于系統(tǒng)的動態(tài)特性不僅與系統(tǒng)的閉環(huán)有關(guān)，還與系統(tǒng)的閉環(huán)零點有關(guān)，而根軌跡顯然不出閉環(huán)零點。另一方面，高階系統(tǒng)的動態(tài)特性本來就很復雜，只有當主導極點滿足二階近似條件時，才能進行二階分析。因此

67、，通過根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)性能，也就體現(xiàn)在：1根據(jù)開環(huán)增益或系統(tǒng)動態(tài)指標要求，在根軌跡上確定閉環(huán)主導極點，并確定主導極點對應的典型二二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標，2在根軌跡上找到其它非主導極點，并考慮閉環(huán)零點，來判斷主導極點是否滿足二階近似條件。</p><p>　　三 對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響</p><p><b>　　有以下幾種情況</b></p><

68、p>　?。?）實軸上零點、極點對根軌跡的影響</p><p>　?。?）小慣性環(huán)節(jié)對根軌跡的影響</p><p><b>　?。?）偶極子效。</b></p><p>　?。?）開環(huán)零、極點抵消對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響</p><p>　　著重對小慣性環(huán)節(jié)對根軌跡的影響。負實軸上距虛軸比較遠的極點相當于小慣性環(huán)節(jié)，在根軌

69、跡上，它的影響表現(xiàn)為使原系統(tǒng)的根軌跡向右偏轉(zhuǎn)，因此，原來穩(wěn)定的系統(tǒng)可能變得不穩(wěn)定，下面看一個例子。</p><p>　　系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，討論忽略小慣性環(huán)節(jié)的影響。</p><p>　　解：這是一個穩(wěn)定的二階系統(tǒng)，如果系統(tǒng)建模時忽略了一個小慣性環(huán)節(jié)，則系統(tǒng)實際的傳遞函數(shù)應該是。兩個系統(tǒng)的根軌跡如圖15，圖16 </p><p>　　圖15 例6建模系統(tǒng)

70、的根軌跡</p><p>　　圖16 例6實際系統(tǒng)的根軌跡</p><p>　　可見，由于小慣性環(huán)節(jié)的存在，實際系統(tǒng)與建模系統(tǒng)的根軌跡很不一樣，K=128時，建模系統(tǒng)的閉環(huán)極點在左半平面，而實際的閉環(huán)極點在右半平面，因此，實際系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，同時我們注意到，K值小的工作點（比如K=1.8）變化不大，這個現(xiàn)象提示我們：1在系統(tǒng)建模時，不要輕易忽略那些看上去無關(guān)緊要的小慣性環(huán)節(jié)。2有時系統(tǒng)的

71、參數(shù)不可能全部考慮到，這就要求系統(tǒng)設計時一定要留足夠的穩(wěn)定裕量。</p><p>　　四 根軌跡與系統(tǒng)的動態(tài)特性的兩種情況</p><p>　?。?）等阻尼線和等角頻率線</p><p>　?。?）利用根軌跡估計系統(tǒng)的動態(tài)特性。</p><p>　　下面說明根軌跡在系統(tǒng)動態(tài)分析和設計時的作用：</p><p>　　由根

72、軌跡可判斷改變某系統(tǒng)參數(shù)，能否得到滿足要求的閉環(huán)主導極點以及參數(shù)變化時閉環(huán)主導極點的變化趨勢。</p><p>　　由根軌跡與滿足要求的等阻尼線的交點可確定系統(tǒng)的閉環(huán)主導極點。</p><p>　　MATLAB繪圖給出了所選主導極點對應典型二階系統(tǒng)的動態(tài)指標，如果其它閉環(huán)零極點滿足二階近似的條件，這些指標可用來近似估計高階系統(tǒng)的指標。</p><p>　　由MATL

73、AB繪制的根軌跡圖很容易得到非主導極點的位置，根據(jù)他們與主導極點的距離以及閉環(huán)零點與主導極點的距離來判斷二階近似指標的準確性。</p><p>　　如果改變系統(tǒng)參數(shù)不能得到希望的閉環(huán)極點，可給系統(tǒng)增加零點，極點（改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)），來改變根軌跡的走向。從而得到希望的閉環(huán)極點。</p><p>　　用MATLAB繪制根軌跡圖</p><p>　　用MATLAB 繪制根軌

74、跡 準確，快捷，并提供了許多有用的功能。</p><p><b>　　一 繪制根軌跡圖</b></p><p>　　Rlocus(num.den)num和den分別是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式。（該函數(shù)不適用于有延時的連續(xù)函數(shù)系統(tǒng)）</p><p>　　例7系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為</p><p><b&

75、gt;　　繪制系統(tǒng)的根軌跡。</b></p><p>　　解: MATLAB命令：</p><p>　　num=[1,2,4];den=con([1,0],conv([1,4],[1,1.4,1]));rlocus(num,den)</p><p><b>　　根軌跡如圖17</b></p><p>　　

76、圖17 例7的根軌跡</p><p>　　二 讀取極點對應的系統(tǒng)參數(shù)</p><p>　　用光標單機根軌跡上的某一點，出現(xiàn)一個文字框，標出該點的坐標。K值，對應系統(tǒng)的阻尼系數(shù)、超強量、無阻尼自由震蕩頻率等，如圖17所示。</p><p>　　三 獲取系統(tǒng)全部信息 [K,POLES]=RLOCFIND(num,den)該命令產(chǎn)生一個大十字光標，用此光標在根軌跡上單擊一

77、個極點，該極點對應的增量值被存入?yún)?shù)K，于此K值對應的所有閉環(huán)極點被存入向量POLES，同時，在根軌跡上顯示所有閉環(huán)極點，如果使用命令rlocfind（num,den），則只在根軌跡上顯示所有閉環(huán)極點，而不存儲，</p><p>　　四 獲取等阻尼線和等角頻率線（柵格）</p><p>　　命令：Grid執(zhí)行此命令，根軌跡圖上出現(xiàn)柵格，即等阻尼線和角頻率線。</p><

78、p>　　五 繪制幾個系統(tǒng)根軌跡圖</p><p>　?。?）（2） （3）</p><p>　?。?）的根軌跡圖 （2）的根軌跡圖</p><p><b>　?。?）的根軌跡圖</b></p><p><b>　　第六章 總結(jié)</b></p&

79、gt;<p>　　通過本次課程設計讓我熟練地掌握了MATLAB的一些命令，還弄懂了根軌跡的作用，以及在實際生活中的應用，讓我掌握連續(xù)系統(tǒng)的根軌跡法校正設計過程；掌握用根軌跡法設計校正裝置的方法，并用實驗驗證校正裝置的正確性；了解MATLAB中根軌跡設計器的應用；了解零點和極點對一個系統(tǒng)的影響。</p><p>　　通過這次的課程設計讓我們了解了怎樣校正一個系統(tǒng)和怎看一個系統(tǒng)的一些性能，如調(diào)節(jié)時間和超

80、調(diào)量等等，通過這次的課程設計，讓我們對根軌跡進一步的了解和加深了我們的知識的聯(lián)系。</p><p>　　通過這次的課程設計，使得我對課堂所學自動控制原理的基本理論知識加深理解和應用，熟練掌握利用計算機輔助分析的方法，進一步增強我的分析問題和解決問題的能力。 </p><p>　　在進行對系統(tǒng)分析和系統(tǒng)校正中，我體會到使用根軌跡設計器使得分析系統(tǒng)的性能非常直觀，同時使得進行系統(tǒng)校正更為方便。

81、從煩雜的計算轉(zhuǎn)移到關(guān)注自動控制原理中系統(tǒng)分析和校正的概念、思想和方法中來，提高分析和解決實際問題的思維能力。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　蔣珉.MATLAB程序設計及應用.—北京：北京郵電大學出版社，2010.3</p><p>　　師宇杰.自動控制原理./基于MATLAB仿真的多媒體授課教材.上冊.—北京