十九世紀數(shù)學35086

1、十九世紀數(shù)學十九世紀數(shù)學十九世紀是數(shù)學史上創(chuàng)造精神和嚴格精神高度發(fā)揚的時代。復變函數(shù)論的創(chuàng)立和數(shù)學分析的嚴格化，非歐幾何的問世和射影幾何的完善，群論和非交換代數(shù)的誕生，是這一世紀典型的數(shù)學成就。它們所蘊含的新思想，深刻地影響著二十世紀的數(shù)學。十九世紀數(shù)學發(fā)展的概貌十八世紀數(shù)學發(fā)展的主流是微積分學的擴展，它與力學和天文學的問題緊密相聯(lián)。微積分的運用使這些自然科學領域迅猛發(fā)展，至十八世紀末，它們達到了一種相對完美的程度。然而，將數(shù)學和這些自

2、然科學基本上視為一體的觀念，使當時一些著名的數(shù)學家，如拉格朗日、歐拉、達朗貝爾等對數(shù)學的前途產(chǎn)生了悲觀情緒，他們覺得數(shù)學泉源已近枯竭。而實際上，此時的數(shù)學正處于興旺發(fā)達的前夜：18世紀的數(shù)學家忙于獲取微積分的成果與應用，較少顧及其概念與方法的嚴密性，到十八世紀末，為微積分奠基的工作已緊迫地擺在數(shù)學家面前；另一方面，處于數(shù)學中心課題之外的數(shù)學分支已積累了一批重要問題，如復數(shù)的意義、歐式幾何中平行公設的地位，高次代數(shù)方程根式解的可能性等，它

3、們大都是從數(shù)學內(nèi)部提出的課題；再者，自十八世紀后期開始，自然科學出現(xiàn)眾多新的研究領域，如熱力學、流體力學、電學、磁學、測地學等等，從數(shù)學外部給予數(shù)學以新的推動力。上述因素促成了十九世紀數(shù)學充滿活力的創(chuàng)新與發(fā)展。十九世紀歐洲的社會環(huán)境也為數(shù)學發(fā)展提供了適宜的舞臺，法國資產(chǎn)階級大革命所造成的民主精神和重視數(shù)學教育的風尚，鼓勵大批有才干的青年步入數(shù)學教育和研究領地。法國在十九世紀一直是最活躍的數(shù)學中心之一，涌現(xiàn)出一批優(yōu)秀人才，如傅里葉、泊松、

4、彭賽列、柯西、劉維爾、伽羅華、埃爾米特、若爾當、達布、龐加萊、阿達馬。他們在幾乎所有的數(shù)學分支中都作出了卓越貢獻。法國革命的影響波及歐洲各國，使整個學術界思想十分活躍，突破了一切禁區(qū)。英國新一代數(shù)學家克服近一個世紀以來以牛頓為偶像的固步自封局面，成立了向歐洲大陸數(shù)學學習的“分析學會”，使英國進入世界數(shù)學發(fā)展的潮流。皮科克、格林、哈密頓、西爾維斯特、凱萊、布爾等英國數(shù)學界的杰出人物，在代數(shù)學、代數(shù)幾何、數(shù)學物理方面的成就尤為突出。辦的德文

5、的《純粹與應用數(shù)學雜志》，劉維爾創(chuàng)辦的法文的《純粹與應用數(shù)學雜志》。到十九世紀后半葉，隨著各國數(shù)學會的問世，各種會刊及專門雜志顯著增加。這些數(shù)學會還在推動本國數(shù)學發(fā)展和促進國際學術交流方面發(fā)揮積極作用。最早成立的是倫敦數(shù)學會，之后創(chuàng)建的有法國數(shù)學會、美國數(shù)學會和德國數(shù)學會。在接近世紀之末，由各國數(shù)學會發(fā)起在瑞士蘇黎世召開了第一屆國際數(shù)學家大會，后成為一項定期舉行的國際學術活動。十九世紀數(shù)學的發(fā)展錯綜復雜，粗略地可以分為四個階段。十九世紀

6、數(shù)學的發(fā)展錯綜復雜，粗略地可以分為四個階段。數(shù)論、分析與幾何的創(chuàng)新階段這一階段從十九世紀初到十九世紀二十年代。1801年，高斯發(fā)表《算術研究》，這部象征近代數(shù)論起點的巨著，同時也打開了數(shù)學新世紀的大門。十九世紀前的數(shù)論主要是一些漂亮但卻孤立的成果，高斯一方面將這些成果系統(tǒng)化，對問題及方法加以分類，同時開辟了全新的課題及方法。樹立了嚴格證明的典范，認為找出簡單漂亮的證明，有助于掌握問題的實質并發(fā)現(xiàn)不同問題間的聯(lián)系(典型的是他給出了二次互反

7、律的七個證明)。高斯的觀點代表了十九世紀對數(shù)學嚴密性追求的時代精神，也指出了純粹數(shù)學發(fā)展的一條途徑。同年，高斯依據(jù)少量觀測數(shù)據(jù)，運用誤差分析等方法計算出谷神星的軌道，準確地預報了這顆小行星在天空出現(xiàn)的時刻，哄動了科學界。高斯在一生中始終對理論與應用同等重視，他的成就一直鼓舞著最有才華的數(shù)學家。他和阿基米德、牛頓一起，被認為是歷史上最偉大的數(shù)學家。1807年，傅里葉向巴黎科學院提交了一篇關于熱傳導的文章，在解熱傳導方程時，提出任意函數(shù)可用

8、三角級數(shù)表示。這是分析學在十九世紀的首項重要工作，它不僅使分析方法進入新的物理領域，而且擴展了函數(shù)概念，推進了偏微分方程理論。對傅里葉級數(shù)收斂點的研究，最終導致康托爾創(chuàng)立集合論。由于傅里葉級數(shù)在應用中的重要性，研究其收斂性成為分析嚴格化的動力之一。十九世紀分析嚴格化的倡導者有高斯、波爾查諾、柯西、阿貝爾和狄利克雷等人。1812年，高斯對一類具體的級數(shù)——超幾何級數(shù)，進行了嚴密研究，這是歷史上第一項重要的有關級數(shù)收斂性的工作。1817年，