孤立奇點的應用

1、3孤立奇點類型的應用孤立奇點的一個重要應用就是孤立奇點處的留數的計算，不同孤立奇點處的留數計算方法不同，所以我們必須正確判斷孤立奇點的類型，我們通常遇到的是極點處的留數計算3.1留數的定義定義6：設是解析函數的孤立奇點，我們把在處的洛朗展開式中負0z)(zf)(zf0z一次冪項的系數稱為在處的留數記作1?C)(zf0z，])([Re0zzfs即=])([Re0zzfs1?C顯然，留數就是積分的值，其中C為解析函數的的去心鄰域內1?Cdz

2、zfiC?)(21?)(zf0z繞的閉曲線0z從留數的定義可以看到，如果是的可去奇點，那么如果0z)(zf0])([Re0?zzfs是本質奇點，那就往往只能用把在展開成洛朗級數的方法來求若是極0z)(zf0z1?C0z點的情形，則可用較方便的求導數與求極限的方法得到留數3.2函數在極點處的留數在求極點處的留數時，為了避免每求一個極點處的留數，都要去求一次洛朗展式，所以，給出下面的幾個定理來求階極點處留數的公式n3.2.1簡單法則法則1：

3、設為的階極點，a??fzn，??????nzfzza???其中，在點解析，，則??z?a??0a??????????1limRe1nzazazsfzn???????法則2：設為的一階極點，a??fz（）dzzfiC?)(21?RzC???：為在點的留數，記為，這里是指順時針方向（這個方向很自然)(zf?])([Re?zfs?C地可以看作是繞無窮遠點的正向）.如果在的洛朗展開式為，則有)(zf????zR()nnnfzCz??????1]