高中數(shù)學(xué)必修一專題求函數(shù)的定義域與值域的常用方法

1、函數(shù)的定義域與值域的常用方法（一）求函數(shù)的解析式1、函數(shù)的解析式表示函數(shù)與自變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，是函數(shù)與自變量建立聯(lián)系的一座橋梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它寫成f（x，y）＝0；2、求函數(shù)解析式一般要寫出定義域，但若定義域與由解析式所確定的自變量的范圍一致時(shí)，可以不標(biāo)出定義域；一般地，我們可以在求解函數(shù)解析式的過程中確保恒等變形；3、求函數(shù)解析式的一般方法有：（1）直接法：根據(jù)題給條件，合理設(shè)置變量，尋找或構(gòu)造變量之間的等量

2、關(guān)系，列出等式，解出y。（2）待定系數(shù)法：若明確了函數(shù)的類型，可以設(shè)出其一般形式，然后代值求出參數(shù)的值；（3）換元法：若給出了復(fù)合函數(shù)f［g（x）］的表達(dá)式，求f（x）的表達(dá)式時(shí)可以令t＝g（x），以換元法解之；（4）構(gòu)造方程組法：若給出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1x）的一個(gè)方程，則可以x代換－x（或1x），構(gòu)造出另一個(gè)方程，解此方程組，消去f（－x）（或f（1x））即可求出f（x）的表達(dá)式；（5）根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)解析式：

3、設(shè)定或選取自變量與因變量后，尋找或構(gòu)造它們之間的等量關(guān)系，列出等式，解出y的表達(dá)式；要注意，此時(shí)函數(shù)的定義域除了由解析式限定外，還受其實(shí)際意義限定。（二）求函數(shù)定義域1、函數(shù)定義域是函數(shù)自變量的取值的集合，一般要求用集合或區(qū)間來表示；2、常見題型是由解析式求定義域，此時(shí)要認(rèn)清自變量，其次要考查自變量所在位置，位置決定了自變量的范圍，最后將求定義域問題化歸為解不等式組的問題；3、如前所述，實(shí)際問題中的函數(shù)定義域除了受解析式限制外，還受實(shí)際

4、意義限制，如時(shí)間變量一般取非負(fù)數(shù)，等等；4、對(duì)復(fù)合函數(shù)y＝f［g（x）］的定義域的求解，應(yīng)先由y＝f（u）求出u的范圍，即g（x）的范圍，再從中解出x的范圍I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定義域I2，I1和I2的交集即為復(fù)合函數(shù)的定義域；5、分段函數(shù)的定義域是各個(gè)區(qū)間的并集；6、含有參數(shù)的函數(shù)的定義域的求解需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，若參數(shù)在不同的范圍內(nèi)定義域不一樣，則在敘述結(jié)論時(shí)分別說明；7、求定義域時(shí)有時(shí)需要對(duì)自變量進(jìn)行分類討論，但

5、在敘述結(jié)論時(shí)需要對(duì)分類后求得的各個(gè)集合求并集，作為該函數(shù)的定義域；（三）求函數(shù)的值域1、函數(shù)的值域即為函數(shù)值的集合，一般由定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，常用集合或區(qū)間來表示；2、在函數(shù)f：A→B中，集合B未必就是該函數(shù)的值域，若記該函數(shù)的值域?yàn)镃，則C是B的子集；若C＝B，那么該函數(shù)作為映射我們稱為“滿射”；3、分段函數(shù)的值域是各個(gè)區(qū)間上值域的并集；4、對(duì)含參數(shù)的函數(shù)的值域，求解時(shí)須對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論；敘述結(jié)論時(shí)要就參數(shù)的不同范圍分別進(jìn)行敘述；

6、4、構(gòu)造方程組法：對(duì)同時(shí)給出所求函數(shù)及與之有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的條件式，可以據(jù)此構(gòu)造出另一個(gè)方程，聯(lián)立求解。例4.（1）已知21()2()345fxfxxx????，試求()fx；（2）已知2()2()345fxfxxx?????，試求()fx；解：解：（1）由條件式，以1x代x，則得2111()2()345ffxxxx????，與條件式聯(lián)立，消去1fx??????，則得：??222845333xfxxxx?????。（2）由條件式，以－x代

7、x則得：2()2()345fxfxxx?????，與條件式聯(lián)立，消去??fx?，則得：??2543fxxx???。說明：說明：本題雖然沒有給出定義域，但由于變形過程一直保持等價(jià)關(guān)系，故所求函數(shù)的定義域由解析式確定，不需要另外給出。5、實(shí)際問題中的函數(shù)解析式：這是高考的一個(gè)熱點(diǎn)題型，一般難度不大，所涉及知識(shí)點(diǎn)也不多，關(guān)鍵是合理設(shè)置變量，建立等量關(guān)系。例5.動(dòng)點(diǎn)P從邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)B出發(fā)，順次經(jīng)過C、D再到A停止。設(shè)x表示P行