第3章 導數(shù)與微分

1、第一講第一講導數(shù)的概念導數(shù)的概念教學內容教學內容1.導數(shù)的物理與幾何模型2.導數(shù)的定義3.求導舉例4.函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系.教學目的與要求教學目的與要求1.理解導數(shù)的概念及它的幾何意義、物理意義2.能用導數(shù)的定義求簡單函數(shù)的導數(shù)3.理解可導與函數(shù)連續(xù)的關系4.會用左、右導數(shù)的概念判斷分斷函數(shù)的連續(xù)和可導性.教學重點與難點教學重點與難點導數(shù)的概念及它的幾何意義、物理意義用左、右導數(shù)的概念判斷分斷函數(shù)的連續(xù)和可導性.教學時數(shù)42.12

2、.1導數(shù)的概念導數(shù)的概念一、導數(shù)的物理與幾何模型一、導數(shù)的物理與幾何模型1.1.變速直線運動的瞬時速度變速直線運動的瞬時速度設一質點在坐標軸上作非勻速運動?時刻t質點的坐標為s?s是t的函數(shù)?s?f(t)?求動點在時刻t0的速度?考慮比值??0000)()(tttftfttss?????這個比值可認為是動點在時間間隔t?t0內的平均速度?如果時間間隔選較短?這個比值在實踐中也可用來說明動點在時刻t0的速度?但這樣做是不精確的?更確地應當

3、這樣?令t?t0?0?取比值的極限?如果這個極限存在?設為v?即00)()(tttftf???00)()(lim0tttftfvtt????這時就把這個極限值v稱為動點在時刻t0的速度?2.2.平面曲線的切線的斜率平面曲線的切線的斜率設有曲線C及C上的一點M?在點M外另取C上一點N?作割線MN?當點N沿曲線C趨于點M時?如果割線ＭＮ繞點Ｍ旋轉而趨于極限位置MT?直線ＭＴ就稱為曲線Ｃ有點Ｍ處的切線?設曲線C就是函數(shù)y?f(x)的圖形?現(xiàn)在

4、要確定曲線在點M(x0y0)(y0?f(x0))處的切線?只要定出切線的斜率就行了?為此?在點M外另取C上一點N(xy)?于是割線MN的2.2.函數(shù)函數(shù)在一點在一點處導數(shù)處導數(shù)——導函數(shù)導函數(shù))(xfy?x將處導數(shù)定義中的換成，如果與之比當時的極限存在，則稱函0x0xxy?x?0??x數(shù)在點處可導，并稱這個極限為函數(shù)在點處的導數(shù)，記為，)(xfy?x)(xfy?x)(xf?即.??)(xf0lim??x???xy0lim??xxxfxx

5、f????)()(顯然，當在某區(qū)間內變化時，是的函數(shù).因此稱之為導函數(shù)導函數(shù).導函數(shù)xI)(xf?x的記號還有或y?dxdydxxdf)(3.3.處導數(shù)與導函數(shù)的關系處導數(shù)與導函數(shù)的關系0x函數(shù)在點的導數(shù)是導函數(shù)在點處的函數(shù)值即)(xfy?0x）（0xf?）（xf??x0x.??）（0xf0)(xxxf??通常，導函數(shù)簡稱為導數(shù)[例題例題1]1]求函數(shù)求函數(shù)的導數(shù)以及在的導數(shù)以及在點的導數(shù)點的導數(shù).2xy?1?x4.4.不可導的情形不可

6、導的情形由可導定義，如果的極限不存在，即有下述情況之一，稱函數(shù)在0lim??xxy??)(xfy?點處不可導不可導0x（1）=；（2）無穩(wěn)定的變化趨勢.0lim??xxy???0lim??xxy??[例題例題2]2]（1）求函數(shù)）求函數(shù)在處的導數(shù)處的導數(shù).xy?0?x（2）求函數(shù)）求函數(shù)在處的導數(shù)處的導數(shù).31xy?0?x5.5.導數(shù)定義的不同形式導數(shù)定義的不同形式=的具體形式有以下情況，需要學生靈活運用.0lim??xxy??)(0x