高三提高班補充講義

1、2014屆數學培優(yōu)班專用資料函數的凹凸性一、知識定義：定義1:設函數在區(qū)間上可導，若函數圖象位于每一點處切線的上方，則稱函)(xfD)(xf數在區(qū)間上是凹函數；若函數圖象位于每一點處切線的下方，則稱函數)(xfD)(xf在區(qū)間上是凸函數的；)(xfD定義2:設是定義在區(qū)間上的函數若對區(qū)間上的任意兩點和實數)(xfDD12xx(01)??總有則稱函數在區(qū)間上是凸函數1212[(1)]()(1)()fxxfxfx?????????)(xfD

2、設是定義在區(qū)間上的函數若對區(qū)間上的任意兩點和實數總)(xfDD12xx(01)??有則稱函數在區(qū)間上是凹函數1212[(1)]()(1)()fxxfxfx?????????)(xfD特別的:當時12??設是定義在區(qū)間上的函數若對區(qū)間上的任意兩點總有)(xfDD12xx則稱函數在區(qū)間上是凸函數12121()[()()]22xxffxfx???)(xfD設是定義在區(qū)間上的函數若對區(qū)間上的任意兩點總有)(xfDD12xx則稱函數在區(qū)間上是凹函

3、數12121()[()()]22xxffxfx???)(xfD二、關于函數的凹凸性的充要條件設函數在區(qū)間上存在二階導數，則在這個區(qū)間內)(xfD)(xf1.函數是凹函數的的充要條件是.)(xfy?0)(?xf2.函數是凸函數的的充要條件是當.)(xfy?()0fx?三、函數的凹凸性有關的重要不等式—琴生(Jensen)不等式:設函數是在區(qū)間上的凸(凹)函數對于區(qū)間中的任意均有)(xfDD123nxxxx?12121()[()()()]n

4、nxxxffxfxfxnn?????????()12121()[()()()]nnxxxffxfxfxnn?????????當且僅當時取等號.12nxxx????2014屆數學培優(yōu)班專用資料事實上故是凹函數1()ln1()0gxxgxx????()lngxxx??????122abgagbg?????????????又g(a)＋g(b)－2g()2ba?22lnln()lnlnln2ababaabbabababab?????????22

5、lnln()ln()ln22abbbabbabababab?????????題4:已知函數2()fxxaxxxRaR?????(1)若試比較的大小12(0)xx???????1212122xxfxfxf????????????與(2)若的大小與(1)一致求實數的取值范12()xx?????????1212122xxfxfxf????????????與a圍.提示(1)易證是凹函數()fx(2)當或時易證是凹函數12(0)xx???12(0

6、)xx???()fx當且時則或2(0)x???1(0)x???12(0)2xx????12(0)2xx????再分別代入恒成立可知????1212122xxfxfxf?????????????[0)a???題5.設f(x)是定義在區(qū)間A上的連續(xù)函數，如果對任意x1、x2∈A(x1≠x2)當0＜＜1?時，都有f［x1(1－)x2］＞f(x1)(1－)f(x2)成立，則稱f(x)是區(qū)間A上的凸函數.????(1)試判斷f(x)=－x2是否為

7、R上的凸函數，并證明你的結論；(2)設f(x)是R上的凸函數，對于任意x1、x2、x3∈R.求證：f()≥3321xxx??3)()()(321xfxfxf??(3)已知函數y=sinx在［0］上是凸函數，在△ABC中，求sinAsinBsinC的最大值.?解：任取x1≠x2.(1)f［x1(1－)x2］－f(x1)－(1－)f(x2)????=－［x1(1－)x2］2x12(1－)x22????=－2x12－(1－)2x22－2(1－