常微分算子的辛幾何刻劃與加權的poincar233;不等式

1、摘 要本 文 討論了 常 微 分算子的 辛 幾何 刻 劃與 加權的P o i n c a r ‘ 不 等 式， 主要內 容是:1 考 慮 二 階 實 系 數 常 微 分 算 子: ( l ) 二 一 ( P ( x ) y ' ) ' + 9 ( - ) y ( 二 。 I ) 利 用 辛 幾 何， 對， ( y ) 的自 伴域進行了 分類， 給出了， ( Y ) 自 伴域是k 一 級的充 要條件.2 ·

2、考 慮 高 階 常 型 實 系 數 微 分 算 子 L ( y ) 二 息 ( P - t y ( k ) ) ( ' ) ( x E [ a . , 6 ] ) . 利 用 辛 幾 何， 對， ( y ) 的自 伴域 進行了 分類， 給出 了， ( Y ) 自 伴域是k 一 級的充 要 條 件( 。 : 、 : 。 ) .3 . 討論了7一 對稱常微分算子的J一 對稱擴張的J一 辛幾 何刻戈 J .4 在加 權S o b

3、 o l o v 空間、 , , I ( f t ; W , v ( } } ) 中 討 論T 加權的P o i n c a r ‘ 不 等 式， 給出了加權的P o i n c a r e 不等式成立的充分與必要條件.5 . 在一 維無界域 上討 論了 加 權的P o i n c a r r s 不 等 式.6 . 利用 一階M e l n i k o v 函 數， 討 論了 擾動系 統(tǒng)的H o p f 環(huán) 性數.關 鍵 詞 微

4、分 算子;自 伴 域; 辛 幾 何; 子流 形;P o i n c a r 。 不 等 式;H o p f 分 支;環(huán)性數二階常 微分 算子自 伴域的辛 幾何刻 劃摘 要 考 慮 二 階 實 系 數 常 微 分 算 子 L ( 的二一 ( 拭 二 ) 獷 ) ， 十 4 ( x 扮 ( 二 E I ) . 利 用 辛 幾 何 ， 對l ( y ) 的 自 伴 域 進 行了 分 類 ， 給出 了I ( y ) 自 伴 域是 k 一級

5、的無要條件.關鍵詞 微分算子;自 伴域;辛幾何;子流形 MR ( 1 9 9 1 ) 主 題 分 類 3 4 B 0 5 , 3 4 L 0 5 , 4 7 B 0 5 , 5 8 F 0 5 中圖分類 01 7 5 . 31 引言設1 ( y ) =一 ( p y ) ' + 9 y是I 上的 二 階 實 系 數 微 分 算 式 ，p , p ' , 4 在I 上 連 續(xù) ， 且域 X ) >0 .當

6、I = [ a , b ] 時 ， 由{ 1 1 ] 知 ， 1 ( y ) 的 虧 指 數 必 為( 2 , 2 ) 且 必 可 生 成自 伴 算 子 . 如 何 去 描 述l 勿 ) 的 自 伴 域 呢 ?1 9 5 4 年 ，E . A . C o d d i n g t o n 在 [ 1 3 ) 中 給 出 了 這 個 問 題 的 完 全 解 答 . 同 一 時 期 ，M . A . N a i m a r k 在!

7、4 ] 中 給出 了 由 “ 擬導 數 ” 足 義的 對 稱 微 分 算 子自 伴 域的 完 全刻 劃 . 1 9 6 2 , W. N . E v e r i t t 在 { 1 4 } 中 應 用 微 分 方 程I ( y ) = A y的 解 給出 了 自 伴 域 的描述.當I =[ a , + 0 o ) 時 ，由H . W e y l 和 E . C . T i t c h m a r s h關 于 二階 奇 型自

8、 伴 微 分 算 子的 經 典 理 論〔 1 3 ] [ 1 4 1 知 ，l ( y ) 的 虧 指 數 僅 為( 1 , 1 ) 與 ( 2 , 2 ) 兩 種 情 形 ， 前 者 稱 為 極限 點 型 ， 后 者 稱 為 極限 園 型 . 當l ( 川為 極 限 點 型 時 ，W e y l - T i t c h m a r s h 域 是I ( y ) 自 伴 域 的 完 全 描 述 . 當I ( y ) 為 極 限 園

9、 型 時 ，W e y l - T i t c h m a r s h 域 僅 是1 ( y ) 自 伴 域的 一 種 特 殊 描 述 如 何 得 到l ( 川 自 伴 域 的 完 全 描 述 呢 ?1 9 8 2 年 ， 曹 之 江 教 授 在[ 2 } 中 ， 給出 了I ( y ) 自 伴域 直 接 而 完 全的 描 述 ( 以 下 簡 稱 為 C a o 域 ) ， 并 證明 了 W e y l - T i t c h m a

10、 r s h域作為一 種特例包 含在 C a 。域中 ，從而完全解決了 二階奇型自 伴微分算子的 解析描述問題. 1 9 9 9年， W. N . E v e r i t t和 L . M a r k u s 在 文【 1 ] 中 利 用 辛 幾 何 也 給出 了 微 分 算 子l ( 約 自 伴 擴 張 的 完 全刻劃.微分算子理論是當 代量子力學的 數學 支柱， 是解決數學 物理方程以 及大量科學技術應用問題的重要數學工具，微分算子