幾類涉及重疊結構分形集研究及對稱性分形混沌圖像生成.pdf

1、這篇博士論文由5章組成，2-4章研究幾類涉及重疊結構的分形集，第5章研究從動力系統(tǒng)生成具有對稱性的彩色圖像． 1．一類具有重疊結構的Sierplnsld地毯： 近期許多學者對具有重疊結構的自相似集進行了深入的研究．Ngai和Wang[9]提出了有限型的定義并給出了當?shù)瘮?shù)系統(tǒng)是有限型時計算系統(tǒng)吸引子Haus-dorff,Box維數(shù)的方法，但有限型的定義要求相似變換的壓縮比必須滿足對數(shù)值可公度．最近Lau和Ngai[10

2、]對有限型的定義作了進一步拓廣，并提出廣義有限型的定義，使得壓縮比不再需要滿足對數(shù)值可公度．在本文的第2章中，我們利用Lau-Ngai的方法分析一類帶參數(shù)的具有重疊結構的Sierpinski地毯．我們首先證明了一般相似壓縮迭代函數(shù)系統(tǒng)滿足開集條件的充分必要條件是它必須是廣義有限型并且沒有完全重疊．文獻說明帶參數(shù)Sierpinski地毯的迭代函數(shù)系統(tǒng){φ<,i>}<'5><,i=1>在參數(shù)對是有理數(shù)時是廣義有限型，于是，對有理參數(shù)對，弄清

3、楚{φ<,i>}<'5><,i=1>是否具有完全重疊是至關重要的，為此，在第二章中給出了迭代函數(shù)系統(tǒng){φ<,i>}<'5><,i=1>具有完全重疊時所對應的有理參數(shù)對的刻畫，并且給出一類不具有完全重疊的有理參數(shù)對顯式分類． 2．一類中心-α康托集的平移交: [0，1]區(qū)間上中心-α康托集Г<,α>是古典三分康托集的直接推廣．兩個康托型集合的平移交是近年來非?；钴S的課題，在這篇論文的第3章中我們主要研究Г<,α>∩(Г<,

4、α>+t)的Hasdorff,Box，Packing維數(shù)．研究這一類交集維數(shù)的難點主要在于每一層迭代中相似變換的個數(shù)總是變化的．然而，在某些條件下，我們證明Г<,α>∩(Г<,α>+t)是的廣義莫朗集．但在多數(shù)情況下，交集的結構更為復雜，此時，通過在Г<,α>∩(Г<,α>+t)的結構集上定義合適的等價關系，可將集合Г<,α>∩(Г<,α>+t)轉化成一滿足開集條件的圖遞歸自相似集的某一支，進而可以利用Mauldin和Williams[

5、34]關于圖遞歸自相似集的理論來計算Г<,α>∩(Г<,α>+t)的各種分形維數(shù)．構造圖遞歸自相似集的思想受到了文獻[35，37，36，9]的啟發(fā)． 3．具有不同壓縮比的康托型集的平移交在第四章，我們進一步研究壓縮比不同的康托型集平移交的Hausdorff,Box，Packing維數(shù)．我們首先說明第三章中在各階結構集上定義的等價關系在這里失效了，并且集合Γ<,β>-Γ<,β>通?？赡懿皇亲韵嗨萍虼薒i和Xiao[25]的方法

6、也不適用，但通過修改等價關系的定義并推廣迭代層次的概念，也可以把Γ<,β> ∩(Γ<,β>+t)轉化成一滿足開集條件的圖遞歸自相似集的某一支．同樣第三章一樣，構造圖遞歸自相似集的思想受到了文獻[35，37，36，9]的啟發(fā)． 4．軌跡井方法生成具有循環(huán)群或二面體群對稱性的彩色圖像軌跡井方法可以用來生成具有偽3D效果、色彩豐富的M-J圖像，但傳統(tǒng)的軌跡井方法始終未與圖像的對稱性相聯(lián)系，而對稱性又是自然界普遍存在的現(xiàn)象，無論在理論上