四階橢圓型方程若干有限元新方法和高效求解算法.pdf

1、四階橢圓型微分方程廣泛應用于固體力學、材料科學和圖像處理諸領域,因此對它的數(shù)值解研究不但具有重要的理論意義也具有直接應用價值.本文的主要工作是構造了重調和方程的一種基于Poisson求解子的快速求解器；對四階橢圓偏微分方程的MWX元方法設計了兩網(wǎng)格局部和并行求解算法并進行了誤差分析；將C0間斷有限元方法應用于四階橢圓偏微分方程并給出求解由該方法離散得到的線性代數(shù)方程組的區(qū)域分解法:也提出了自適應有限元方法的一個抽象框架.
　　

2、首先,構造了重調和方程的一種基于Poisson求解子的快速求解器.通過位能極小原理,建立了重調和方程和Stokes方程之間的等價性,即重調和方程等價于一個Stokes方程和兩個Possion方程.類似地,在有限元離散情形,建立了重調和方程Morley元方法和Stokes方程非協(xié)調P1-P0元方法之間的等價性,即重調和方程Morley元方法等價于一個Stokes方程非協(xié)調P1-P0元方法和兩個Possion方程Morley元方法.然后基于

3、這個等價性,結合代數(shù)多重網(wǎng)格法,構造了重調和方程的一種基于Poisson求解子的快速求解器.最后,用數(shù)值試驗驗證了這個求解器的有效性.
　　 其次,提出了三種用于求解任意空間維數(shù)的四階橢圓偏微分方程的兩重網(wǎng)格局部和并行的Morley-Wang-Xu(MWX)元方法.由于MWX元空間不是嵌套的,需要引進一些網(wǎng)格轉移算子,以從全局的粗網(wǎng)格有限元解和局部的細網(wǎng)格修正來獲得改進的全局有限元解.首先通過構造基于修正Argyris元的網(wǎng)格轉

4、移算子,提出了求解MWX元離散的四階問題的三種局部和并行算法.然后,證明了相應的數(shù)值解的離散能量誤差的階為O(h+H2),其中H和h分別為有限元單形剖分的粗細網(wǎng)格的網(wǎng)格大小.同時,構造了基于算術平均網(wǎng)格轉移算子的局部和并行算法,證明了相應的數(shù)值解的離散能量誤差的階為O(h+H2(H/h)(d-1)/2),其中d為求解區(qū)域的空間維數(shù).進一步,我們提供了數(shù)值實驗來說明這些算法的計算效果.
　　 再次,提出了求解薄板彎曲問題的一類新的

5、C0間斷有限元方法,并給出了數(shù)值解在離散能量誤差和H1范數(shù)下的誤差估計.首先將四階偏微分方程寫成二階系統(tǒng)的形式,獲得了構造求解原四階問題的C0間斷有限元方法的框架.然后,建立一個離散的穩(wěn)定性等式,并由此選擇可行的數(shù)值跡,得到求解薄板彎曲問題的一類穩(wěn)定的C0間斷有限元方法.根據(jù)二階橢圓問題間斷有限元方法誤差分析中的思想和推導技巧,我們得到了薄板彎曲問題LCDG方法數(shù)值解在離散能量范數(shù)和H1范數(shù)下的最優(yōu)階誤差估計以及CDG方法數(shù)值解在離散能

6、量范數(shù)和H1范數(shù)下的誤差估計.最后,用數(shù)值實驗驗證了理論的收斂階.
　　 接著,構造了薄板彎曲問題的局部C0間斷有限元方法的兩水平加型Schwarz預條件子并估計了條件數(shù).對于我們提出的求解薄板彎曲問題的LCDG方法,通過定義特殊的網(wǎng)格轉移算子,給出了該方法的區(qū)域分解算法.進一步估計了經(jīng)過預處理的線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣的條件數(shù),該上界估計在δ≈H時是最優(yōu)的.在小部分重疊情形,即δ《H時,利用更多的子區(qū)域的信息,改進了條件數(shù)的上

7、界估計.
　　 然后,提出了基于標準循環(huán)的自適應有限元方法的抽象框架并得到了擬最優(yōu)收斂性和最優(yōu)復雜度.首先提出一些假設,基于這些假設得到自適應有限元方法的擬最優(yōu)收斂性.在作了進一步的假設后,通過引進總誤差,證明了自適應有限元方法的最優(yōu)復雜度.最后通過前面提出的假設,將這個抽象框架應用于各種問題,包括一般二階橢圓偏微分方程的高階有限元方法,2m階橢圓偏微分方程的Morley型有限元方法,不定時諧Maxwell方程和H(div)方程

8、.
　　 最后,對于薄板彎曲問題κ=0,1時的混合有限元方法,驗證了自適應有限元方法抽象框架中提出的假設.利用Helmholtz分解,對所有的κ≥0,構造了薄板彎曲問題的混合有限元方法(H-H-J方法)基于殘差的后驗誤差估計子并證明了估計子的可靠性.利用泡函數(shù)技巧分析了誤差估計子的有效性.而且根據(jù)力在內邊上的跳躍可以被體積部分所控制的性質,改進了誤差估計子.進一步,獲得了離散的Helmoltz分解和離散的inf-sup條件,利用