穩(wěn)定耗散矩陣的構(gòu)造及其在動力學(xué)中的應(yīng)用.pdf

1、本文考慮的Lotka-Volterra(LV)系統(tǒng)為由如下常微分方程組:(x)i=xi（ri+n∑j=1aijxj）(i=1,...,n).
　　 上述系統(tǒng)已是應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中重要的方程模型之一.目前，它不僅被廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物、動態(tài)博弈論、經(jīng)濟(jì)和其他社會科學(xué)中，還被廣泛應(yīng)用于許多熱門學(xué)科，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物反應(yīng)、細(xì)胞演化、資源管理和病毒傳播等.
　　 眾所周知，Lotka-Voltrra系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)與其作用矩陣

2、A=(aij)n×n的代數(shù)性質(zhì)具有緊密的聯(lián)系.前人根據(jù)作用矩陣的不同代數(shù)性質(zhì)，抽象出三類不同的LV系統(tǒng):互利合作型（或相互競爭型），保守型和耗散型.其中，關(guān)于前兩類系統(tǒng)的研究已有豐富的成果，而有關(guān)耗散系統(tǒng)的研究相對較少.
　　 在Lotka-Voltrra系統(tǒng)的實際應(yīng)用中，由于其作用矩陣A=（aij)n×n中數(shù)據(jù)的精確度問題，有必要對作用矩陣進(jìn)行小擾動，從而就有了穩(wěn)定耗散的概念.國內(nèi)外對穩(wěn)定耗散Lotka-Voltrra系統(tǒng)的研

3、究也相對比較少，其中大部分研究開始結(jié)合圖論的方法，亦有了最大穩(wěn)定耗散圖的概念.最大穩(wěn)定耗散圖的獲得對穩(wěn)定耗散矩陣的判別與構(gòu)造起到了重要的作用.
　　 本文主要研究的是穩(wěn)定耗散矩陣的構(gòu)造及其對應(yīng)Lotka-Volterra系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)分析.研究內(nèi)容與結(jié)果主要有以下三方面:
　　 一、通過對低維最大穩(wěn)定耗散圖作圖過程的整理、分析，本文歸納總結(jié)出一套一般的作圖算法,按此作圖步驟可得到n階最大穩(wěn)定耗散圖.為了證實該作圖步驟的

4、可行性，我們對n≤6的情況進(jìn)行了驗證，結(jié)果顯示與已有文獻(xiàn)得到的最大穩(wěn)定耗散圖的分類一致.因此，有理由相信按此作圖步驟，可以得到更高階的最大穩(wěn)定耗散圖.通過對n=7情形的實踐，我們發(fā)現(xiàn)，對于高維情形,徒手作圖方法效率較低，高維最大穩(wěn)定耗散圖的完全歸類需要大量作圖步驟.因此，在該部分中，將探索計算機作圖的方法，希望通過符號的轉(zhuǎn)換將作圖過程程序化.本文詳細(xì)介紹了作者對計算機作圖法的研究思路，并提出了一些創(chuàng)新性構(gòu)想.但計算機程序法極有可能出現(xiàn)N

5、P問題，因此，最大穩(wěn)定耗散圖計算機作圖的實現(xiàn)有待編程愛好者在本文基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善與解決.
　　 二、從圖形組合出發(fā)，結(jié)合簡單的代數(shù)性質(zhì)，給出構(gòu)造穩(wěn)定耗散矩陣的幾種方法，包括疊加法、造橋法、強連接法等.首先，將所研究的作用矩陣轉(zhuǎn)化成圖的表示形式，即引入（穩(wěn)定）耗散圖.于是，矩陣的構(gòu)造問題就轉(zhuǎn)化為圖的構(gòu)造問題.其次，通過對圖的判別，排除一些不恰當(dāng)?shù)慕M合方式，從而減少不正確的構(gòu)造方法.最后，根據(jù)圖的組合方式，再將問題回歸到矩陣的代數(shù)判

6、別，即穩(wěn)定耗散性的判別.
　　 三、討論了穩(wěn)定耗散矩陣對應(yīng)Lotka-Volterra系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì).為了更凸顯動力系統(tǒng)理論的現(xiàn)實意義，本文詳細(xì)考慮生物入侵的現(xiàn)象.以一類五階穩(wěn)定耗散系統(tǒng)為原始生態(tài)系統(tǒng)，通過模擬第六種生物的各類入侵方式，研究第六種生物對原五物種生態(tài)系統(tǒng)的影響.并具體分析了其中一類入侵方式下的新六物種系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)，且給出了其極限行為是周期運動的充要條件.特別研究了初值與吸引子之間的關(guān)系，通過全面的數(shù)值分析，得