宇宙學中的若干精確可解模型.pdf

1、Einstein方程的精確解在引力理論中有重要的作用。隨著近年來宇宙學的發(fā)展，具有宇宙學意義的Einstein方程的精確解是一個值得研究的方向。這類解一般有如下特點，一方面是含有有宇宙常數或與宇宙常數行為接近的成分，另一方面是要考慮到宇宙不是Einstein流形，因為宇宙是含有物質的，可以用理想流體來描述。作為標準宇宙學模型的宇宙常數-冷暗物質（ACDM）模型是以Friedmann-Robertson-Walker（FRW）度規(guī)和理想流

2、體為基礎的，已經得到大量觀測數據的支持。額外維和膜宇宙的圖景促進了高維Einstein方程的精確解的發(fā)展，宇宙學要求4維時空應作為高維時空的一個子流形。本文主要尋找一些有較強概括力的精確解，并發(fā)現多個精確解之間的關系。
　　 在第一章中，通過一個推廣的物態(tài)方程，將ACDM模型的理想流體推廣為更一般的粘滯流體。這個推廣基于一個簡單的事實，物態(tài)方程p=-p0結合Friedmann方程即可得到ACDM模型。推廣的物態(tài)方程可以統(tǒng)一描述理

3、想流體項、粘滯效應和宇宙常數，并且此時的Friedmann方程有精確解，這個解概括了很多文獻中的已經得到過的解。出現這個解的原因是一個Riccati變量代換可以把此時的Friedmann方程線性化。
　　 在第二章中，考慮了更一般的情況，即物態(tài)方程參數和宇宙常數都可以是尺度因子的函數，對Riccati變量代換進行了更一般的推廣，并提出了對應的Hamilton形式。這個只含一個廣義坐標的無約束Hamilton系統(tǒng)給出Friedma

4、nn方程作為其運動方程，描寫了一個可變質量的質點在某個勢場中的運動。推廣后的非線性變換對應Hamilton形式中的一個正則變換，經過這個正則變換后，可以進一步簡化成固定質量的質點在另外一個勢場中的運動。在這個框架下，作為一個具體的例子，ACDM模型對應于一個（倒）諧振子。這個Hamilton形式可以進一步推廣到有粘滯性的情況，上述的非線性變換揭示了精確解出現的原因。
　　 在第三章中，求出并研究了一個5維Einstein方程的精

5、確解，這個解描寫的是把FRW宇宙作為理想流體嵌入5維Einstein時空，此時FRW宇宙是5維Einstein時空中的一個4維超曲面。這個解具有很強的一般性，含有兩個任意函數和3個常數，賦予這些任意函數和常數以特定的形式可以得到多種宇宙演化的方式。這個5維解揭示了很多其它5維解之間的內在聯系：（1）這個解在一定邊界條件下的特解就是Randall-Sundrum模型中的一個解；（2）這個解可以從5維拓撲黑洞經過坐標變換得到，但是在其它維這

6、種坐標變換不能顯式地寫出來，這是這個精確解出現的第一個原因；（3）這個解的假設可以從5維Lemaitre-Tolman-Bondi度規(guī)通過Wick轉動得到；（4）這個解在宇宙常數趨于零的情況下化為Liu-Mashhoon-Wesson解。這些解之間的關系從多個角度印證了Gauss正交坐標系下的5維Einstein時空有很強的特殊性。如果5維的宇宙常數是正的，那么度規(guī)周期性地依賴于額外維，因此可以自然地把額外維緊化到S1上。在Gauss正