滿足Costa型晨二次條件的四階非線性常微分方程周期解的存在性研究.pdf

1、二十世紀七八十年代，人們在研究具有四階色散的光纖的脈沖傳播時建立了廣義非線性薛定諤方程i(6)w/(6)x+(6)2w/(6)t2-(6)4w/(6)t4+|w|2w=0.并考慮其形如w(t，x)=u(t)eikx，k∈R.的解，則方程可轉(zhuǎn)化為u(4)-u('')+ku-u3=0.
　　近二十年來，人們利用臨界點理論研究上述類型的四階非線性微分方程已經(jīng)取得了很多很好的成果.
　　本文主要研究更一般的四階非線性常微分方程u(4

2、)(x)+Au('')(x)+Bu(x)-f(x,u)=0，x∈R.(1)周期解的存在性.其中A，B為常數(shù)，f(x，0)=0,令F(x,u)=([)f(x,s)ds,F(x,u)∈C1(R×R,R)滿足全局Costa型非二次條件:(F1)μ存在α＞0，μ＞2，使得f(x, u)u-2F(x,u)≥a|u|μ，(A)x∈R，u∈R\{0}.
　　為了較方便的研究此問題，本文首先研究邊值問題(P):u(4)(x)+Au('')(x)+

3、Bu(x)-f(x,u)=0，x∈[0，L]u(0)=u(L)=u('')(0)=u('')(L)=0的解的存在性.將上述問題轉(zhuǎn)化為研究泛函I(u)=1/2(([)u('')2-Au(')2+ Bu2)dx-([)F(x，u)dx的臨界點的問題，此泛函定義在空間X=H2([0,L])∩H10([0,L])上.易知I的臨界點就是上述問題的弱解同時也是上述問題的經(jīng)典解.然后利用臨界點理論中的山路定理、鞍點定理、環(huán)繞定理分別研究當A＜0，B＞

4、0，A＞0，B＞0，A＞0，B＜0，以及A＜0，B＜0時泛函I的臨界點的存在情況.
　　若u(x)為泛函I的臨界點即邊值問題(P)的解，根據(jù)條件(F)F(x，u)=F(x+2L，u),F(x，u)=F(-x,-u),(A)x∈R，u∈R.將u(x)在區(qū)間[-L,L]上進行奇拓展(u)=(u)(x)={u(x),x∈[0,L];-u(-x),x∈[-L,0].然后將(u)=(u)(x)在R上進行2L周期拓展即可得到方程(1)的2L周